Для решения данной системы уравнений начнем с преобразования каждого из них.

Первое уравнение:

$$x^2+4x+2\sqrt{x}(x+4)-1=9$$

Перепишем его:

$$x^2+4x+2\sqrt{x}(x+4)-10=0$$

Теперь мы можем попробовать выразить $\sqrt{x}$ как $t$, тогда $x=t^2$. Подставим это значение:

$$(t^2{)}^2+4(t^2)+2t(t^2+4)-10=0$$

Это упрощается до:

$$t^4+4t^2+2t^3+8t-10=0$$

На этом этапе у нас есть полином, который можно решать по-разному $например,численноилианалитически$. Однако лучше всего сначала решить его графически или с помощью численных методов.

Теперь второе уравнение:

$$4\sin y\cos y=x$$

Используя формулу $\sin (2y)=2\sin y\cos y$, можно переписать его как:

$$2\sin (2y)=x$$

Таким образом, $x=2\sin (2y)$.

Теперь у нас есть два уравнения:

Подставив $x$ из второго уравнения в первое, получим:

$$(2\sin (2y){)}^4+2(2\sin (2y){)}^3+4(2\sin (2y){)}^2+8(2\sin (2y))-10=0$$

Теперь это уравнение можно решать с помощью анализа, подбора значений $y$ или численных методов.

Для нахождения конкретных решений можно попробовать подставить различные значения $y$ и вычислять $x$, а затем проверять, удовлетворяет ли полученное значение $x$ первому уравнению.

Окончательное решение может потребовать численного анализа или использования программного обеспечения для нахождения корней полинома.

Пожалуйста, дайте знать, если нужно разбить решение на более конкретные шаги или провести численный расчет.