Сначала определяем окислитель и восстановитель:
K2MnO4 - окислитель (Мn имеет +7 в этом соединении)
HBr - восстановитель (Br имеет -1 в этом соединении)

Составляем полуреакции окисления и восстановления:
Окисление: 2Br- -> Br2 + 2e-
Восстановление: MnO4- + 8H+ + 5e- -> Mn2+ + 4H2O

Балансируем количество электронов на обеих полуреакциях, чтобы количество переданных электронов было одинаковым:
Окисление: 5(2Br-) -> Br2 + 10e-
Восстановление: 5(MnO4-) + 40H+ + 25e- -> 5(Mn2+) + 20H2O

Сбалансируем уравнение, начиная с полуреакции окисления:
10Br- + 10MnO4- + 80H+ -> 5Br2 + 10Mn2+ + 40H2O

Перепишем уравнение:
2KMnO4 + 16HBr -> 5Br2 + 10MnBr2 + 2Br2 + 2KBr + 8H2O

Таким образом, окислитель - K2MnO4, восстановитель - HBr. Коэффициенты перед веществами в уравнении:
K2MnO4 - 2
HBr - 16
Br2 - 5
MnBr2 - 10
Br2 - 2
KBr - 2
H2O - 8