Для нахождения наименьшего основания позиционной системы счисления х, при котором 255ₓ = 405ₙ, нужно преобразовать числа в десятичную систему счисления.

255ₓ = 2x^2 + 5x^1 + 5*x^0

405ₙ = 410^2 + 010^1 + 5*10^0

Теперь можно записать уравнение:

2x^2 + 5x + 5 = 410^2 + 010 + 5

2x^2 + 5x + 5 = 405

Теперь нужно решить это уравнение. Однако, для упрощения можно заметить, что наименьший корень этого уравнения будет при x = 6:

26^2 + 56 + 5 = 245

Таким образом, наименьшее основание позиционной системы счисления х, при котором 255ₓ = 405ₙ, равно 6.