Дано уравнение: 2t^2 y y' + y^2 = 2.

Подставляем начальные условия:
y$1$ = ln$7$ = -4

Пусть y$t$ = u$t$ v$t$, где u$t$ и v$t$ - функции, которые нужно найти.
Тогда y'$t$ = u'v + v'u, y''$t$ = u''v + 2u'v' + v''u.

Подставляем в уравнение:
2t^2 y y' + y^2 = 2
2t^2 $uv$$u^{\prime }v+v^{\prime }u$ + $uv$^2 = 2
2t^2 u$u^{\prime }v+v^{\prime }u$v + u^2 v^2 = 2
2t^2 u^2 v^2 + 2t^2 u v^2 u' + u^2 v^2 = 2
2t^2 u^2 v^2 + 2t^2 u v^2 u' + u^2 v^2 - 2 = 0

Найдем частные производные:
$2t^2{v}^2+2t^{2}uv{u}^{\prime }$u - 2 = 0
2t^2 u $v^2+v{u}^{\prime }$ - 2 = 0

Теперь предположим, что v^2 + vu' = 0,
=> v$u^{\prime }+v$ = 0
=> u' = -v

Подставляем в уравнение:
2t^2 u$v^2-v^2$ - 2 = 0
-2 = 0

Уравнение некорректно, поэтому нужно попробовать другой метод решения.