Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = -x^2 -4x и y = 4 + x, сначала нужно найти точки их пересечения.

Решим уравнение:

-x^2 - 4x = 4 + x

-x^2 - 4x - 4 - x = 0

-x^2 - 5x - 4 = 0

Факторизуем:

-(x + 1)(x + 4) = 0

Отсюда получаем две точки пересечения: x = -1 и x = -4.

Подставляем значения обратно в уравнения:

y = -(-1)^2 - 4*(-1) = -1 + 4 = 3

y = -(-4)^2 - 4*(-4) = -16 + 16 = 0

Таким образом, точки пересечения: (-1, 3) и (-4, 0).

Площадь фигуры между этими графиками можно найти интегрируя разность этих функций от -4 до -1.

Интеграл: ∫[4+x - (-x^2-4x)] dx от -4 до -1

∫[4 + x + x^2 + 4x] dx от -4 до -1

Теперь вычислим:

[4x + x^2/2 + 2x^2] от -4 до -1

Подставляем значения:

[-(1/2) + 1/2 + 8] - [-8 + 8 + 32]

(7/2 + 8) - 32

15/2 - 32 = -29/2

Итак, площадь фигуры ограниченная линиями y = -x^2 -4x и y = 4 + x равна -29/2.

График выглядит примерно так:

(вставьте график)