Известно, что правильная четырехугольная пирамида имеет вписанную сферу, касающуюся всех граней пирамиды.

Площадь основания пирамиды равна 2, что равно площади квадрата, образующего основание пирамиды. Поэтому сторона квадрата равна √2.

Так как пирамида правильная, то ее боковые грани все равны и образуют равнобедренный треугольник. Поэтому высота пирамиды равна √2/2.

Теперь можем найти радиус вписанной сферы, обозначим его r.

Верхний треугольник, образованный высотой пирамиды и радиусом сферы, будет являться равнобедренным с высотой r и основанием 2r.

Таким образом, рассмотрим правильный треугольник, образованный радиусом, высотой и стороной квадрата.

r^2 + (√2/2)^2 = (√2)^2

r^2 + 1/4 = 2

r^2 = 7/4

r = √(7)/2

Ответ: радиус вписанной сферы в правильную четырехугольную пирамиду равен √(7)/2.