Чтобы найти площадь треугольника по формуле Герона, необходимо сначала вычислить полупериметр треугольника. Формула Герона выглядит следующим образом:

[
S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
]

где ( s ) — полупериметр, а ( a ), ( b ), и ( c ) — стороны треугольника.

Найдем полупериметр ( s ):

[
s = \frac{a+b+c}{2}
]

Подставим известные значения:

[
s = \frac{12 + 35 + 37}{2} = \frac{84}{2} = 42
]

Теперь можно подставить ( s ), ( a ), ( b ), и ( c ) в формулу Герона:

[
S = \sqrt{42(42-12)(42-35)(42-37)}
]

Вычислим каждое значение:

( 42 - 12 = 30 )( 42 - 35 = 7 )( 42 - 37 = 5 )

Теперь подставим все значения:

[
S = \sqrt{42 \times 30 \times 7 \times 5}
]

Теперь найдем произведение:

[
42 \times 30 = 1260
]
[
1260 \times 7 = 8820
]
[
8820 \times 5 = 44100
]

Таким образом, получаем:

[
S = \sqrt{44100}
]

Вычислим корень:

[
S \approx 210
]

Итак, площадь треугольника равна 210 квадратных единиц.