Для начала разберём, что происходит с Чертёжником на каждом шаге.

Чертёжник выполняет последовательность команд 12 раз. Мы подсчитаем, куда он перемещается после одного полного выполнения всех команд:

"сместиться на $10,10$" — перемещение на $10,10$."сместиться на $3,-6$" — перемещение на $3,-6$."сместиться на $-9,3$" — перемещение на $-9,3$.

Теперь найдем общее перемещение за одну итерацию:

После первого шага: $10,10$После второго шага: $10+3,10-6$ = $13,4$После третьего шага: $13-9,4+3$ = $4,7$

Таким образом, за одну итерацию Чертёжник перемещается от начальной точки до точки $4,7$.

Теперь мы можем вычислить общее смещение за 12 повторений таких итераций. Так как в начале он находится, например, в точке $0,0$, то после одного полного выполнения всех команд он оказывается в точке $4,7$.

Обозначим перемещение одной итерации как вектор $4,7$. Соответственно, после 12 итераций:

x = 12 * 4 = 48y = 12 * 7 = 84

Итак, конечная точка $перемещениеотначальной$ будет $48,84$.

Теперь проверим, какие точки он будет посещать. На каждом шаге после каждой из трёх команд мы можем вычислить траекторию:

После 1-го шага: $10,10$После 2-го шага: $13,4$После 3-го шага: $4,7$

Теперь повторяем ту же последовательность 12 раз. Он будет проходить те же самые точки через каждые 12 шагов.

Так как смещения являются линейными, все промежуточные позиции и конечная позиция формируют линейную комбинацию. Подсчитаем уникальные посещённые точки за одно полное выполнение команд $из3команд$:

$0,0$ — начальная$10,10$$13,4$$4,7$

Теперь мы можем найти, сколько разных точек с целочисленными координатами он пройдет в течение 12 повторений.

Если алгоритм верно описан:

Начальная точка: 1 $0,0$1-ая команда: 1 $(10,10)$2-ая команда: 1 $(13,4)$3-ья команда: 1 $(4,7)$

В каждом выполнении он по сути "движется" через $10,10$ → $13,4$ → $4,7$.

Учитывая, что он возвращается в одну и ту же начальную точку, каждый раз проходя одно и то же расстояние, но через разные координаты. Подсчитаем уникальные координаты:

Итак, итоговые точки, которые он проходил по командам 12 раз, остаются $0,0$, $10,10$, $13,4$, $4,7$.

Таким образом, ответ на вопрос, сколько различных точек с целочисленными координатами принадлежит траектории Чертёжника: 4 различные точки.