Чтобы упростить выражение (\frac{\sqrt{3}}{\sin 40^\circ} + \frac{1}{\cos 40^\circ), воспользуемся следующим подходом:

Приведем обе дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель – это (\sin 40^\circ \cos 40^\circ).

Преобразуем каждую дробь:

[
\frac{\sqrt{3}}{\sin 40^\circ} = \frac{\sqrt{3} \cos 40^\circ}{\sin 40^\circ \cos 40^\circ}
]
[
\frac{1}{\cos 40^\circ} = \frac{\sin 40^\circ}{\sin 40^\circ \cos 40^\circ}
]

Объединим дроби:

[
\frac{\sqrt{3} \cos 40^\circ + \sin 40^\circ}{\sin 40^\circ \cos 40^\circ}
]

Попробуем упростить числитель (\sqrt{3} \cos 40^\circ + \sin 40^\circ). Это выражение можно представить в виде:

[
R \cos(\theta - \phi)
]
где (R = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (1)^2} = \sqrt{3 + 1} = 2).

Также определим углы:
(\sin \phi = \frac{1}{2}) и (\cos \phi = \frac{\sqrt{3}}{2}), что соответствует (\phi = 30^\circ).

Таким образом, можем записать:

[
\sqrt{3} \cos 40^\circ + \sin 40^\circ = 2 \cos(40^\circ - 30^\circ) = 2 \cos 10^\circ
]

Подставим это обратно в наше выражение:

[
\frac{2 \cos 10^\circ}{\sin 40^\circ \cos 40^\circ}
]

Используя формулу ( \sin 40^\circ \cos 40^\circ = \frac{1}{2} \sin 80^\circ), можем записать:

[
\sin 40^\circ \cos 40^\circ = \frac{1}{2} \sin 80^\circ = \frac{1}{2} \cdot \sin 80^\circ = \frac{1}{2} \cdot \sin 80^\circ = \frac{\sin 80^\circ}{2}
]

Теперь наше выражение становится:

[
\frac{2 \cos 10^\circ}{\frac{1}{2} \sin 80^\circ} = \frac{4 \cos 10^\circ}{\sin 80^\circ}
]

Заметьте, что (\sin 80^\circ = \cos 10^\circ). Таким образом, мы можем выразить окончательный результат как:

[
\frac{4 \cos 10^\circ}{\cos 10^\circ} = 4
]

Итак, значение выражения (\frac{\sqrt{3}}{\sin 40^\circ} + \frac{1}{\cos 40^\circ}) равно 4.