Для решения задачи, начнем с того, что обозначим начальное число, с которого мы начинаем, как ( x = 1 ). Программа 12211 описывает последовательность операций, которые выполняются над числом. Каждая цифра в программе обозначает команду:

Теперь разберем последовательность 12211 и применим ее к начальному числу ( x = 1 ).

Первая команда (1): прибавить 3
[
1 + 3 = 4
]

Вторая команда (2): умножить на ( b )
[
4 \cdot b
]

Третья команда (2): снова умножить на ( b )
[
(4 \cdot b) \cdot b = 4b^2
]

Четвертая команда (1): прибавить 3
[
4b^2 + 3
]

Пятая команда (1): снова прибавить 3
[
(4b^2 + 3) + 3 = 4b^2 + 6
]

Итак, после выполнения всех команд мы получили выражение для конечного результата:
[
4b^2 + 6
]
Согласно условию задачи, этот результат равен 150:
[
4b^2 + 6 = 150
]

Теперь решим это уравнение для ( b ):

Переносим 6 в другую сторону:
[
4b^2 = 150 - 6
]
[
4b^2 = 144
]

Делим обе стороны на 4:
[
b^2 = \frac{144}{4}
]
[
b^2 = 36
]

Извлекаем квадратный корень:
[
b = 6
]
Так как ( b ) должно быть натуральным числом, записываем результат:

[
\boxed{6}
]