Чтобы определить, сколько битов нужно для кодирования информации о наличии кладов в 4 пещерах, мы можем воспользоваться простым комбинаторным подходом.

Каждая из 4 пещер может содержать клад или не содержать его. Это означает, что для каждой пещеры у нас есть 2 состояния (клады: есть или нет). Таким образом, общее количество комбинаций (состояний) для 4 пещер можно вычислить по формуле:

[ 2^n ]

где ( n ) — это число пещер. В нашем случае:

[ 2^4 = 16 ]

Это означает, что у нас есть 16 различных комбинаций возможного расположения кладов в 4 пещерах.

Теперь рассмотрим количество бит, необходимых для кодирования этих 16 состояний:

3 бита: С 3 битами мы можем закодировать ( 2^3 = 8 ) различных состояний, что недостаточно, так как нам нужно 16 комбинаций. Следовательно, 3 бита не хватает.

4 бита: С 4 битами мы можем закодировать ( 2^4 = 16 ) состояний, что точно соответствует количеству возможных комбинаций. Таким образом, 4 бита достаточно.

5 битов: С 5 битами мы можем закодировать ( 2^5 = 32 ) состояния, что более чем достаточно для наших 16 комбинаций. Поэтому 5 бит тоже подойдёт, но это будет избыточно.

Итак, резюмируя:

Рассмотрим, сколько всего существует вариантов расположения кладов по 4 пещерам. В каждой пещере клад может быть или не быть, то есть 2 варианта.

Всего комбинаций:

2 × 2 × 2 × 2 = 16 вариантов.

Теперь рассмотрим, сколько вариантов можно закодировать с помощью разного количества битов:

– 3 бита: 2³ = 8 вариантов – недостаточно, так как нужно 16.

– 4 бита: 2⁴ = 16 вариантов – достаточно, можно закодировать все варианты.

– 5 битов: 2⁵ = 32 варианта – достаточно, даже с запасом.

Ответ:

– 3 бита – нельзя закодировать все варианты.

– 4 бита – можно.

– 5 битов – можно.