Кратко и по существу.
1) Различие в сложности и применимости
- Эйлеров путь (проход по всем рёбрам ровно по одному): решается полиномиально. Практическое применение — прокладка маршрутов, инспекции, задачи почты/сбора (где важно пройти все рёбра).
- Гамильтонов путь (посетить все вершины ровно по одному): NP‑полная задача (решение/нахождение общего алгоритма за полиномиальное время неизвестно). Применяется в задачах маршрутизации, планировании с ограничениями, комбинаторных оптимизациях, но в больших/общих графах требует эвристик или точных переборных методов.
Формулы/классы:
- Эйлеров путь — полиномиально; можно построить за время $O(|V|+|E|)$ (алгоритм Хиршхелера).
- Решение гамильтонова пути — NP‑полное (решение на входе $G$ проверяется за полиномиальное время, но нахождение в общем случае экспоненциально).
2) Критерии существования эйлерова пути в неориентированном графе
Пусть $G=(V,E)$, $\mathrm{deg}(v)$ — степень вершины $v$.
- Необходимое и достаточное условие для существования эйлерова тропа (trail), проходящего все рёбра ровно один раз:
- Все вершины с ненулевой степенью лежат в одной связной компоненте (игнорируя изолированные вершины), и
- число вершин с нечётной степенью равно $0$ или $2$.
- Если число нечётных вершин равно $0$ — существует эйлеров цикл (circuit); если равно $2$ — существует эйлеров путь, кончающийся в двух нечётных вершинах.
Проверка: посчитать $\#\{v\in V:\mathrm{deg}(v)\text{нечётна}\}$ и проверить связность ненулевых вершин; построить маршрут алгоритмом Хиршхелера за $O(|V|+|E|)$.
3) Эвристики и приближённые алгоритмы для поиска гамильтонова пути в больших разрежённых графах
Общие замечания: точное решение обычно экспоненциально; для разрежённых графов работают специальные эвристики и гибриды.
А) Гридные (жадные) стратегии
- Простая жадная: строим путь пошагово, в каждой вершине выбираем соседя по какому‑то правилу (напр., наибольшая степень, наименьшая степень — Warnsdorff‑подобный приём). Быстро, но часто застревает в тупиках.
- Усиление: жадный + локальные поправки (backtracking с лимитом глубины или beam search).
Б) Поиск с возвратом и прунинг
- DFS с эвристическим порядком посещения и проверками на достижимость оставшихся вершин (cutting by degree, connectivity, reachability). Для разрежённых графов часто эффективен с сильным отсечением.
- Ограниченный branch-and-bound с нижними/верхними оценками.
В) Локальный поиск и перемещения k‑opt
- Представление как перестановки вершин, применение k‑opt (похожие приёмы из TSP): удалять/вставлять рёбра, заменять фрагменты пути, применять локальные улучшения, tabu search, simulated annealing.
Г) Эволюционные/генетические алгоритмы
- Хромосома — перестановка вершин (либо кодирует путь с пропусками). Фитнесс — длинна корректных последовательных рёбер (или штрафы за разрывы).
- Операторы: order crossover, PMX, мутации (swap, insert), repair‑оператор, который старается «склеить» разрывы жадно.
- Подходит для больших разрежённых графов, если допустимы стохастика и много итераций.
Д) Подходы через паросочетания и покрытие путями
- Построить максимум паросочетаний (алгоритм Эдмондса / blossom) чтобы получить большое число непересекающихся рёбер: это даёт основу для набора коротких путей, которые затем пытаются склеить (склеивание — жадно или с локальным поиском).
- Алгоритм «максимальное паросочетание → расширение/склейка» часто даёт длинные пути в разрежённых графах; сложность паросочетания — например, $O(n^3)$ в худшем случае (реализации эффективнее на практике).
Е) Редукция к TSP и использование метаэвристик
- Положить расстояние $d(u,v)=1$ если $(u,v)\in E$, иначе большой штраф $M$; решить TSP эвристически (симулированный отжиг, генетика, Lin–Kernighan). Это превращает задачу поиска гамильтонова пути в задачу оптимизации, где цель — минимизировать количество «не‑рёбер».
- Требует аккуратной настройки штрафа $M$.
4) Практические рекомендации для разрежённых графов
- Сначала применяйте быстрое жадное + несколько рестартов (разные эвристики порядка соседей).
- Запустите DFS с ограниченным бэктрекингом и мощными отсечениями (проверка связности оставшегося графа).
- На больших экземплярах комбинируйте: максимальное паросочетание → склейка → локальный поиск; или генетический алгоритм с repair‑оператором и хорошей инициализацией (из жадных решений).
- Если нужно доказать отсутствие гамильтонова пути — используйте сокращения/тривиальные обязательные условия (некоторые вершины с высокой «cut» ролью, степени, 2‑связность), но в общем доказательство неприемлемости — NP‑сложная задача.
Если нужно, могу: 1) показать пример проверки эйлерова пути для конкретного графа; 2) привести псевдокод жадной или генетической схемы для гамильтонова пути.