Кратко — цель: поддерживать вставку, удаление и выбор k‑го по величине (select k) в динамическом множестве. Ниже — оптимальные варианты, их сложности, память, практическая реализация и компромиссы.
1) Order‑statistic на базе сбалансированного бинарного дерева (RB/AVL/treap)
- Идея: хранить в каждом узле поле `size = |поддерево|` (и при дубликатах — счётчик).
- Сложности (каждая операция меняет/читает пути высоты):
- вставка: $O(\log n)$ - удаление: $O(\log n)$ - select k: $O(\log n)$ (спуск по размеру левого поддерева)
- Память: $O(n)$ (по узлу — константное число указателей + поле size + ключ/значение).
- Практическая реализация: умеренно сложна. RB/AVL — детерминированно $O(\log n)$ в худшем; treap — проще, ожидаемое $O(\log n)$. Нужно аккуратно обновлять поля size при поворотах.
- Плюсы: универсально, поддерживает произвольные ключи, ранг‑запросы, k‑й за логарифм. Подходит при частых всех трёх операций.
- Минусы: реализация сложнее, константы накладных расходов на узел.
2) Fenwick (BIT) / сегментное дерево на индексах (часто для мультимножества целых/сжатых ключей)
- Идея: сопоставить ключам дискретные индексы, хранить частоты; select k — найти минимальный индекс с префиксной суммой ≥ k.
- Сложности:
- обновление (insert/delete): $O(\log U)$ где $U$ — размер массива/универсума; при сжатии координат $U=O(n)$ → $O(\log n)$ - select k: $O(\log U)$ (битовый поиск в Fenwick или спуск по сегдереву)
- Память: $O(U)$ (или $O(n)$ после сжатия). Константы низкие (массив).
- Практическая реализация: простая и быстрая; очень эффективна по времени и памяти при сравнительно небольшом $U$ или если можно заранее/динамически поддержать сжатие.
- Плюсы: простота, меньшие константы, очень быстрый в практике.
- Минусы: требуется дискретизация/фиксированный индексный диапазон; менее удобен при произвольных ключах/частых уникальных вставках без предварительного списка ключей.
3) Биномиальная куча (binomial heap) / куча вообще
- Идея: структуры для приоритета (min/max).
- Сложности:
- вставка: амортизированно $O(1)$ - delete arbitrary (удаление произвольного элемента): обычно $O(\log n)$ (через decrease-key + extract), но сложнее реализуется
- select k (k‑й по величине): плохо — нет эффективной поддержки; выбор k‑го требует извлечь/генерировать k элементов → $O(k\log n)$ или сложные вспомогательные структуры
- Память: $O(n)$ (структура узлов).
- Практическая реализация: проще для приоритетных операций (insert, extract‑min), но не предназначена для ранговых запросов.
- Плюсы: быстрые вставки/извлечения минимума, простота для приоритетных очередей.
- Минусы: не годится, если требуется частый запрос k‑го порядка; удаление произвольного элемента и select k дорого или сложны.
4) Другие варианты
- Splay‑дерево (без дополнительного поля size) можно допилить для size; операции амортизированно $O(\log n)$, но нет гарантий в худшем. Хорошо при локальном доступе.
- Балансированные структуры на основе B‑деревьев/skip‑list с size-полями — похожие характеристики, skip‑list проще в реализации (ожидаемое $O(\log n)$).
Резюме по выбору и компромиссам
- Если нужны гарантированные асимптоты для всех трёх операций: выбирайте order‑statistic RB/AVL или treap с полем size → все операции $O(\log n)$ (RB/AVL — худший случай, treap — ожидаемо).
- Если ключи являются целыми из ограниченного диапазона или их можно компактно сжать и важна максимальная скорость и низкая память — Fenwick или сегментное дерево: операции за $O(\log U)$ с малыми константами и памятью $O(U)$ (или $O(n)$ после сжатия).
- Если нужно только приоритетные операции (insert, extract‑min) и select k редок/ненужен — куча/биномиальная куча подходит; для select k — не использовать.
- При жёстких ограничениях памяти: Fenwick/сжатые массивы чаще компактнее по константам; деревья имеют накладные указатели.
- При частых запросах select k и редких вставках/удалениях: можно поддерживать дополнительную структуру (например, кэшировать упорядоченный массив и обновлять пакетно).
- При требовании простоты реализации и хорошей практической производительности: treap с size — компромисс: проще, мало кода, ожидаемо быстро.
Короткое практическое руководство
- Частые insert/delete + частые select k, произвольные ключи → order‑statistic RB/AVL или treap with size.
- Ключи из небольшого диапазона или возможна дискретизация → Fenwick/segment tree.
- Только приоритетные операции → (binomial/binary heap). Для k‑го — не годится.
Если нужно, могу привести шаблон реализации (например, treap с полем size) или сравнить константы памяти/производительности для конкретных параметров (n, U, частоты операций).