Если квадратное уравнение имеет вид $a{x}^2+bx+c=0$ и дискриминант $\Delta =b^2-4ac$ отрицателен ($\Delta <0$), то применяют комплексные числа.
1) Квадратная формула:
$x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}$. При $\Delta <0$ положим $\Delta =-D$ ($D>0$). Тогда $\sqrt{\Delta }=\sqrt{-D}=i\sqrt{D}$ (где $i^2=-1$), и корни равны
$$x=\frac{-b\pm i\sqrt{D}}{2a}.$$
2) Альтернативно можно вывести то же через выделение полного квадрата:
$a{x}^2+bx+c=0\Rightarrow x+\frac{b}{2a}=\pm \frac{\sqrt{\Delta }}{2a}=\pm \frac{i\sqrt{D}}{2a}$.
3) Свойства: при $\Delta <0$ корни являются сопряжённой парой: если $r=\frac{-b+i\sqrt{D}}{2a}$, то второй корень $\overline{r}=\frac{-b-i\sqrt{D}}{2a}$. Многочлен факторизуется как $a(x-r)(x-\overline{r})$.
Примеры:
- Для $x^2+1=0$ ($a=1,b=0,c=1,\Delta =-4$) получаем $x=\pm i$.
- Для $2x^2+4x+5=0$ ($\Delta =16-40=-24,D=24$) получаем
$$x=\frac{-4\pm i\sqrt{24}}{4}=-1\pm \frac{i\sqrt{6}}{2}.$$