Кратко и по пунктам.
1) Что генерирует заданная грамматика
Грамматика
$$S\to aSb\mid SS\mid \epsilon$$ генерирует язык правильно сбалансированных последовательностей букв $a$ и $b$ (аналог языка сбалансированных скобок): множество всех слов с равным числом $a$ и $b$, причём в каждом префиксе число $a$ не меньше числа $b$. Обозначим этот язык $D$.
Ясно, что $\{a^n{b}^n\mid n\ge 0\}\subseteq D$, т.к. правило $S\to aSb$ даёт цепочку $S\Rightarrow a^{n}S{b}^n\Rightarrow a^n{b}^n$. Однако грамматика даёт и слова вне вида $a^n{b}^n$. Например,
$$S\Rightarrow SS\Rightarrow aSbaSb\Rightarrow abab,$$ то есть $abab\in L(G)$ но $abab\notin \{a^n{b}^n\}$. Следовательно $L(G)$ строго содержит $\{a^n{b}^n\}$ и не равен ему.
2) Неоднозначность
Грамматика неоднозначна (правило $S\to SS$ даёт разные бинарные ассоциации конкатенации). Пример для слова $ababab$ (три раза $ab$): его можно получить с разной структурой разбиения на компоненты:
- первый способ (группировка слева):
$$S\Rightarrow SS\Rightarrow SSS\Rightarrow (aSb)SS\Rightarrow abSS\Rightarrow ab(aSb)S\Rightarrow ababab.$$ - второй способ (группировка справа):
$$S\Rightarrow SS\Rightarrow SSS\Rightarrow S(aSb)S\Rightarrow (aSb)(aSb)S\Rightarrow ababab.$$ Эти два вывода дают разные синтаксические деревья, значит грамматика неоднозначна.
3) Устранение неоднозначности
Язык $D$ (однобуквенный язык сбалансированных скобок) допускает однозначную КС-грамматику. Одна стандартная неамбиграмматика:
$$S\to aSbS\mid \epsilon .$$ Обоснование однозначности: любое ненулевое слово $w\in D$ начинается с $a$; существует единственная позиция соответствующей закрывающей $b$ — первая позиция, где в префиксе число $a$ и $b$ сравнялось; это даёт единственное разложение $w=aubv$ с $u,v\in D$. Правило $S\to aSbS$ как раз кодирует это единственное разбиение, поэтому разбор уникален.
Выводы:
- Грамматика $S\to aSb\mid SS\mid \epsilon$ не равна языку $\{a^n{b}^n\}$; она генерирует более широкий язык сбалансированных последовательностей.
- Грамматика неоднозначна.
- Можно заменить её на эквивалентную неамбиграмматику, например $S\to aSbS\mid \epsilon$, которая порождёт тот же язык и будет однозначной.