"К счастью" - это значит, что какой-то момент или обстоятельство является причиной радости или облегчения для человека.

"На счастье" - это значит, что что-то случилось благодаря удаче или счастливому стечению обстоятельств.

"По счастью" - это значит, что что-то случилось благодаря тому, что удачно повернулись дела или что-то произошло в пользу человека.