Выражение "иметь большой вес" означает, что человек или его мнение имеют важное, авторитетное значение, влияют на события или принимаемые решения.

Троекурову давал "большой вес в губернии" его высокий социальный статус, влиятельные связи, хорошая репутация, богатство или другие факторы, которые делали его важным и уважаемым членом общества в губернии. Возможно, он занимал высокий пост, участвовал в принятии важных решений или просто имел сильное влияние на окружающих людей.