В пьесе "Гроза" Катерина ищет свое счастье и выход из трудной жизненной ситуации через несколько путей:

Борьба за любовь. Катерина стремится обрести счастье через любовь к Борису Глебову, который представляется ей как возможность начать новую жизнь и реализовать свои мечты.

Использование своих женских прелестей. Катерина понимает, что может использовать свою красоту и обаяние, чтобы добиться своих целей и изменить свою жизнь к лучшему.

Стремление к независимости. В ходе событий пьесы Катерина принимает решение оставить своего мужа и стремится к самостоятельности и свободе в принятии решений, что также становится для нее путем к счастью.

Таким образом, Катерина ищет пути к счастью через любовь, использование своих сильных сторон и достижение независимости от обстоятельств.