Дано уравнение поверхности:

xyz = a^3

Найдем градиент данного скалярного поля:

∇(xyz) = (yz, xz, xy)

Поскольку точка (0, 0, 0) лежит на поверхности, то ее можно исключить из рассмотрения.

Теперь найдем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке (x0, y0, z0). Для этого подставим координаты точки в уравнение градиента и получим уравнение плоскости:

yz = (y0z0, x0z, x0y)

Для нахождения геометрического места оснований перпендикуляров, опущенных из начала координат, нужно найти точку (x0, y0, z0), в которой такие перпендикуляры будут лежать. Так как перпендикуляры опущены из начала координат, мы можем положить x0 = y0 = z0 = 0.

Таким образом, искомое геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных из начала координат на касательные плоскости к поверхности xyz = a^3, является точка (0, 0, 0).