Обозначим радиус цилиндра как r.
Так как цилиндр вписан в конус, то высота цилиндра равна высоте конуса, то есть h = l = 14 см.

Из условия угла между прямой, проведенной через центр верхнего основания цилиндра и любую точку окружности основания конуса, и основанием конуса равен 30° следует, что данная прямая является касательной к окружности.

Таким образом, точка касания прямой с окружностью является вершиной перпендикуляра, проведенного от центра верхнего основания конуса к этой прямой.

Обозначим данное расстояние от центра верхнего основания конуса до точки касания как d. Тогда в прямоугольном треугольнике, образованном половиной базы конуса, радиусом конуса и отрезком d, верно следующее соотношение:

tg(30°) = (l/2)/r = (14/2)/r = 7/r

Также, из условия угла образующей конуса с высотой равно 45°, следует, что tg(45°) = r/h = r/14

Отсюда получаем систему уравнений:

tg(30°) = 7/r
tg(45°) = r/14

Решая данную систему, находим r ≈ 4.83 см.

Итак, радиус цилиндра равен 4.83 см.