1) Как найти проблемный шаг:
- Найдите шаги, где выполняют деление или сокращение на выражение, зависящее от переменной (в записи появилось деление на $A$ или сокращение с множителем $A$).
- Запишите это выражение $A$ и проверьте, может ли оно обнулиться при каких-то значениях переменной (решите $A=0$).
2) Последствия деления на выражение, которое может быть нулём:
- Деление на ноль невозможно — такой шаг неверен.
- Если выполнить сокращение без учёта случая $A=0$, можно потерять решения (те значения, при которых $A=0$), либо вообще получить неверные утверждения. Всегда надо отдельно рассматривать случай $A=0$.
3) Корректный путь (алгоритм):
- Вместо немедленного деления выделите два случая: (i) $A=0$ и (ii) $A\ne 0$.
- В случае $A=0$ подставьте это в исходное равенство и найдите возможные решения.
- В случае $A\ne 0$ можно безопасно делить на $A$ и продолжить преобразования.
- Альтернатива: перенести все в левую часть и разложить на множители, затем применить правило нуля для произведения: если $\prod B_i=0$, то найдётся $i$ с $B_i=0$.
- В конце обязательно проверить найденные корни в исходном выражении (чтобы исключить посторонние или недопустимые значения).
4) Короткий пример:
Исходно: $(x-1)(x+2)=x-1$.
Проблемный шаг (недопустим): деление на $x-1$ и получение $x+2=1$, т.е. $x=-1$ — при этом теряется решение $x=1$.
Правильно: перенести в одну сторону и разложить
$$(x-1)(x+2)-(x-1)=(x-1)(x+2-1)=(x-1)(x+1)=0,$$ откуда $x=1$ или $x=-1$. Оба значения проверить в исходном равенстве (они удовлетворяют).
Это общий принцип: не делите на выражение, не исследовав случай его обнуления; вместо этого разбивайте на случаи или факторизуйте и применяйте правило нуля.