Кейс вычислений: при упрощении выражения с радикалами sqrt(a + 2*sqrt(b)) когда имеет смысл применять метод представления в виде (sqrt(p)+sqrt(q))^2 и какие ограничения на a и b при этом возникают
Кейс вычислений: при упрощении выражения с радикалами sqrt(a + 2*sqrt(b)) когда имеет смысл применять метод представления в виде (sqrt(p)+sqrt(q))^2 и какие ограничения на a и b при этом возникают
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
a+2b=p+q. \sqrt{a+2\sqrt b}=\sqrt p+\sqrt q.
a+2b =p +q . Возведя в квадрат получаем равенство
a+2b=p+q+2pq, a+2\sqrt b=p+q+2\sqrt{pq},
a+2b =p+q+2pq , откуда следуют условия
a=p+q,b=pq. a=p+q,\qquad b=pq.
a=p+q,b=pq. Значит p,qp,qp,q — корни квадратного уравнения
t2−at+b=0, t^2-at+b=0,
t2−at+b=0, и поэтому
p,q=a±a2−4b2. p,q=\frac{a\pm\sqrt{a^2-4b}}{2}.
p,q=2a±a2−4b .
Следовательно необходимое и достаточное условие — корни реальны и неотрицательны, то есть
a2−4b≥0иp,q≥0. a^2-4b\ge 0\quad\text{и}\quad p,q\ge0.
a2−4b≥0иp,q≥0. Эквивалентно (с учётом неотрицательности корней) достаточно и удобно требовать
b≥0иa≥2b, b\ge0\quad\text{и}\quad a\ge2\sqrt b,
b≥0иa≥2b , поскольку из p+q=a, pq=bp+q=a,\ pq=bp+q=a, pq=b по неравенству AM–GM следует a≥2ba\ge2\sqrt ba≥2b . При этих условиях
a+2b=a+a2−4b2+a−a2−4b2. \sqrt{a+2\sqrt b}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-4b}}{2}}+\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-4b}}{2}}.
a+2b =2a+a2−4b +2a−a2−4b .
Практически метод особенно удобен, если a2−4ba^2-4ba2−4b — полный квадрат (тогда p,qp,qp,q рациональны или целы), иначе корни дают выражение с дополнительными корнями.