Для проверки является ли функция $F(x) = x^2 + 3x + 1$ первообразной для функции $f(x) = 2x + 3$, нужно вычислить производную от функции $F(x)$ и сравнить ее с функцией $f(x)$.

Производная функции $F(x) = x^2 + 3x + 1$ равна:
$F'(x) = 2x + 3$

Если $F'(x) = f(x)$, то $F(x)$ является первообразной для $f(x)$. В данном случае производные совпадают, следовательно, функция $F(x) = x^2 + 3x + 1$ является первообразной для функции $f(x) = 2x + 3$.