Для того чтобы найти расстояние от точки C до плоскости BDC1, нам нужно найти высоту, опущенную из точки C на плоскость BDC1.

Поскольку точка C лежит на диагонали куба ABCDA1B1C1D1, то она является центром куба и точкой пересечения диагоналей. Таким образом, точка C делит диагонали на две равные части.

Так как длина ребра куба 4√3, то длина диагонали куба равна 4√3√3 = 12.

Теперь найдем расстояние от точки C до плоскости BDC1, которую можно рассматривать как основание прямоугольного треугольника CDC1, где длина гипотенузы равна 12, а катет равен 4√3 (половина длины ребра куба).

Используя теорему Пифагора, находим высоту h:

h = √(12^2 - (4√3)^2)
h = √(144 - 48)
h = √96
h = 4√6

Таким образом, расстояние от точки C до плоскости BDC1 равно 4√6.