Производная функции f(x) через предел определяется следующим образом: f'(x) = lim(h->0) [(f(x+h) - f(x))/h].Функция называется дифференцируемой, если она имеет производную в каждой точке своей области определения.Функция имеет производную на промежутке, если она дифференцируема на этом промежутке, то есть если производная функции существует и ограничена на этом промежутке.Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Производные функций:

f'(x) = 3x^2 - 6x + 4f'(x) = 3x^2 - 4x - 12f'(x) = 1/(2√x)f'(x) = (3x^4 - 4x^3 - 2x)/(1-x^3)^2f'(x) = 9x^2 - x + 4

Значения производных в указанных точках:

f'(1) = 1^3 - 6*1 + 4 = -1f'(-1) = (-1)^3 - 4*(-1) - 12 = -1f'(2) = 42^3 - 42^2 + 5 = 31

Решение уравнения f(x) = 0:

x^4 - 2x^2 + 1 = 0
Решение: x^2 = 1
x = ±1

-x^5/5 + 10x^3/3 - 9x = 0
Решение: x*(-x^4/5 + 10x^2/3 - 9) = 0
x = 0 или -x^4/5 + 10x^2/3 - 9 = 0 (для нахождения остальных корней потребуется численное решение).