а) Построим график функции y=-x+6:

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке [1; 2] найдем значения функции при x=1 и x=2:

При x=1: y=-1+6=5
При x=2: y=-2+6=4

Таким образом, наибольшее значение функции на отрезке [1; 2] равно 5, а наименьшее значение равно 4.

б) Найдем значения переменной x, при которых y=0:

0=-x+6
x=6

Таким образом, когда y=0, x=6.

Теперь найдем значения переменной x, при которых y<0:

-x+6<0
x>6

Следовательно, значения переменной x, при которых y<0, это x>6.

Решение уравнения (x-5)(x+5) = (x-3)^2 + 2:

(x-5)(x+5) = (x-3)^2 + 2
x^2 - 25 = x^2 - 6x + 9 + 2
-25 = -6x + 11
6x = 36
x = 6

Ответ: x=6

Пусть собственная скорость катера равна v, а скорость течения реки равна u.

Согласно условию, время движения катера по течению и против течения равно 1.5 часа и 2 часа 15 минут (2.25 часа) соответственно.

Уравнения движения катера:
27 = (v+u) 1.5
27 = (v-u) 2.25

Решаем данную систему уравнений и находим собственную скорость катера и скорость течения реки:
1.5v + 1.5u = 27
2.25v - 2.25u = 27

Из первого уравнения найдем v: v = (27 - 1.5u) / 1.5

Подставляем это значение во второе уравнение и находим u:

2.25 * (27 - 1.5u) / 1.5 - 2.25u = 27
40.5 - 3u - 2.25u = 27
40.5 - 5.25u = 27
-5.25u = -13.5
u = 2.57 км/ч

Теперь найдем собственную скорость катера:
v = (27 - 1.5*2.57) / 1.5
v ≈ 14.28 км/ч

Ответ: собственная скорость катера равна примерно 14.28 км/ч, скорость течения реки равна примерно 2.57 км/ч.