Для доказательства этого утверждения рассмотрим треугольник ABC, у которого сторона BC перпендикулярна прямой а. Пусть M, N, P – середины сторон AB, BC, AC соответственно.

Так как M – середина стороны AB, то AM = MB. Аналогично, BN = NC и AP = PC.

Докажем, что MP перпендикулярна прямой а. Для этого рассмотрим треугольники АМС и ВМС.

У них общее основание МС и равные стороны AM = MB и CM = CM, значит, по теореме о равных треугольниках треугольники AMС и BMС равны.

Таким образом, углы AMС и BMС равны, значит углы АMС и ВМС равны. Но угол AСМ и угол ВМС – это углы треугольников ABC и ABC. Следовательно, углы ABC и ВМС равны.

Аналогично можно доказать, что углы ABC и АMP равны. Значит угол ВМС равен углу АMP.

Следовательно, угол ВМP равен углу AMP и треугольник VMP является прямоугольным с прямым углом при точке P, что и требовалось доказать.