Пусть треугольник ABC, медиана проведена из вершины A и делит угол A на три равные части. Обозначим высоту, проведенную из вершины A, как AD, а точку пересечения медианы и высоты как M.

Так как медиана делит угол A на три равные части, то угол BAM = угол MAE = угол EAD = α (где E – середина стороны BC).

Также из условия мы знаем, что длина медианы AM = 10 см.

Из симметрии треугольника получаем, что BD = DC и BM = MC. Так как AM – медиана, то BM = MC = AM/2 = 10/2 = 5 см.

Также из треугольника ADC с углом при вершине A, зная, что AD – высота, имеем, что tan(α) = AD/AC. Из равенства углов EAM и α следует, что угол EAD = α, а значит, равна и угол DAC.

Так как AD – высота, BD = DC, то треугольники ABD и ACD равнобедренные, а значит, углы BDA и CDA равны. Но по условию угол ADC = α, значит, угол BDA = ADC/2 = α/2. Но у треугольника AMD угол MDA = 90° – угол BDA = 90° – α/2, а значит, и угол AMD = α/2.

Итак, угол ADC = угол CAD = α, угол BAM = угол MAE = угол EAD = α, угол AMD = α/2, угол DAM = α/2, угол BDA = α/2, угол MDA = 90° – α/2.

Из треугольника AMD получаем, что tan(α/2) = AD/MD, откуда AD = MD * ctg(α/2).

Добавим угол BDA = α/2, и угол MDA = 90° – α/2.

Так как AB = AC (по условию), то из равных углов, результат дважды угла MAE и значит, треугольник ABC равнобедренный, а значит, из равных сторон вытекает и равенство AD = MD.

Итак, AD = MD = 10√3/3.

Так как AB = AC, то треугольник равнобедренный. Вывод: BC = 2AB = 2(AD * tg(α/2)) = 20√3/3 см.