Для извлечения корня n-ной степени из большого числа без калькулятора можно воспользоваться методом проб и ошибок.

Для примера с корнем 7 степени из числа 823543, можно начать с поиска наибольшего целого числа, возведение которого в 7-ю степень даст число, меньшее 823543. Например, начнем с числа 100, возведем его в 7-ю степень и увидим, что результат (100 в степени 7) будет меньше 823543. Затем увеличиваем число до 200 и снова проверяем. Повторяем эти шаги до тех пор, пока не находим наибольшее число, возведение которого в 7-ю степень даст результат, близкий к 823543 или как можно ближе.

Чтобы проверить, что результат будет целым числом без вычисления, можно воспользоваться следующим свойством: если число не делится на другое число, возведенное в степень n, то оно не является целым корнем n-ной степени.

Таким образом, чтобы проверить, можно поделить число 823543 на число, возведенное в 7-ю степень, например, 100. Если результат деления не является целым числом, то число 100 не является корнем 7 степени из 823543.

Повторяем этот процесс для всех найденных чисел, возведенных в 7-ю степень, и найдем наибольшее целое число, которое является корнем 7 степени из 823543.