Дано: Окружность с центром О, касательная МК и точка касания М. МК = 6 см, угол МОК = 45 градусов.

Док-во: Угол МОК является прямым углом, так как касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания.
Таким образом, треугольник МОК - прямоугольный.

Док-ть: Найдем радиус окружности. Пусть радиус окружности равен R.

Так как угол МОК = 45 градусов, то угол М = 90 градусов (так как треугольник МОК - прямоугольный).
Тогда по теореме косинусов в прямоугольном треугольнике МОК:

R^2 = MO^2 + MK^2 - 2 MO MK * cos(М)

R^2 = MO^2 + 6^2 - 2 MO 6 * cos(45)

R^2 = MO^2 + 36 - 12 MO cos(45)

R^2 = MO^2 + 36 - 12 MO √2/2

R^2 = MO^2 + 36 - 6 * MO√2

Так как MO = R, подставляем это значение:

R^2 = R^2 + 36 - 6R√2

36 = 6R√2

R = 6√2 см.

Итак, радиус окружности равен 6√2 см.