Для нахождения частного решения данного дифференциального уравнения второго порядка возпользуемся методом характеристического уравнения.

Характеристическое уравнение для данного дифференциального уравнения имеет вид:
λ^2 - 10λ - 25 = 0.

Решим это квадратное уравнение:
D = (-10)^2 - 41(-25) = 100 + 100 = 200.

λ1 = (10 + √200) / 2 = 5 + 5√2,
λ2 = (10 - √200) / 2 = 5 - 5√2.

Таким образом, характеристическое уравнение имеет два корня λ1 и λ2.

Частное решение дифференциального уравнения второго порядка может быть представлено в виде:
у(x) = c1e^(λ1x) + c2e^(λ2x),

где c1 и c2 - произвольные константы, которые нужно найти.

Используя начальные условия у(0) = 1 и у'(0) = 8, получаем систему уравнений:
c1 + c2 = 1,
5c1 + 5c2 = 8.

Решая данную систему, находим значения констант:
c1 = (8 - 5) / (5 - 1) = 3/4,
c2 = 1 - 3/4 = 1/4.

Таким образом, частное решение дифференциального уравнения второго порядка у"-10у'-25у=0 при начальных условиях у(0) = 1 и у'(0) = 8:
у(x) = (3/4)e^(5+5√2)x + (1/4)e^(5-5√2)x.