Для нахождения частного решения данного дифференциального уравнения второго порядка, используем метод подстановки. Предположим, что частное решение имеет вид у = а * e^rx, где а - постоянная, r - неизвестное значение.

Подставляем данное предположение в уравнение:
а e^rx - 10 a r e^rx - 25 а e^rx = 0

Упрощаем выражение, деля на a * e^rx:
1 - 10r - 25 = 0
-24 - 10r = 0
r = -2.4

Таким образом, частное решение дифференциального уравнения имеет вид у = а * e^(-2.4x).

Теперь находим значение постоянной а, используя начальные условия у=1 и у'=8 при х=0:
у = а e^(-2.4 0) = а e^0 = а 1 = а = 1
у' = -2.4 1 e^(-2.4 * 0) = -2.4

Итак, частное решение уравнения у"-10у'-25у=0 с начальными условиями у=1 и у'=8 при х=0 имеет вид:
у = e^(-2.4x)