Утверждение: множество рациональных чисел $\mathbb{Q}$ не может быть одновременно открытым и замкнутым в стандартной топологии $\mathbb{R}$.
Краткие доказательства.
1) Прямой (по внутренней точке и замыканию).
- $\mathbb{Q}$ не открыто: для любого рационального $q$ и любого $\epsilon >0$ интервал $(q-\epsilon ,q+\epsilon )$ содержит иррациональные числа, значит никакой открытый интервал вокруг $q$ не лежит в $\mathbb{Q}$. Следовательно $\mathrm{int}(\mathbb{Q})=\varnothing$.
- $\mathbb{Q}$ не замкнуто: рационалы плотны в $\mathbb{R}$, т.е. для любого $x\in \mathbb{R}$ есть последовательность рационалов, сходящаяся к $x$. Поэтому $\overline{\mathbb{Q}}=\mathbb{R}$, а так как $\mathbb{Q}\ne \mathbb{R}$, то $\mathbb{Q}$ не равняется своему замыканию и не замкнуто.
Из этих фактов следует, что $\mathbb{Q}$ не может быть одновременно открытым и замкнутым.
2) Альтернативно (через связность): множество $\mathbb{R}$ связно в стандартной топологии, значит единственные клозеные-открытые (clopen) подмножества — $\varnothing$ и $\mathbb{R}$. Так как $\mathbb{Q}$ ни равно $\varnothing$, ни равно $\mathbb{R}$, оно не может быть clopen.
Ключевые свойства топологии, использованные здесь:
- плотность $\mathbb{Q}$ (и плотность множества иррационалов) в $\mathbb{R}$;
- факт, что в метрической/стандартной топологии любые непустые открытые множества содержат интервалы;
- связность $\mathbb{R}$ (альтернативный, более общий аргумент).