Короткий ответ: наиболее эффективно — воспользоваться симметрией; интеграл равен $\pi$.
Пояснения и вычисления.
Симметрия (быстрее всего):
$$I={\int }_0^{\pi }x\sin xdx.$$ Подставим $x\mapsto \pi -x$:
$$I={\int }_0^{\pi }(\pi -x)\sin (\pi -x)dx={\int }_0^{\pi }(\pi -x)\sin xdx.$$ Сложим оба выражения:
$$2I={\int }_0^{\pi }\pi \sin xdx=\pi {\int }_0^{\pi }\sin xdx=\pi \cdot 2=2\pi ,$$ отсюда $I=\pi .$
Интегрирование по частям (альтернатива):
$$u=x,dv=\sin xdx\Rightarrow du=dx,v=-\cos x,$$ $$I=[-x\cos x{]}_0^{\pi }+{\int }_0^{\pi }\cos xdx=\pi +0=\pi .$$
Представление через разложение в ряд Фурье — избыточно: потребовалось бы разложить $x$ по синусам/косинусам и использовать ортогональность, что длиннее и сложнее для этой простой задачи.