Кратко — какие свойства спектра устойчивы при малом возмущении $A\mapsto A+E$ (матрицы $3\times 3$, действительные элементы) и какие теоремы это гарантируют.
Обозначения: пусть спектр $A$ = множ. собственных значений (с учётом алгебраической кратности) $\{{\lambda }_i(A){\}}_{i=1}^3$. Норма возмущения $\Vert E\Vert$ (обычно операторная 2‑норма).
1) Непрерывность собственных значений (как корней характеристического многочлена)
- Свойство: спектр как упорядоченный мультисет зависит непрерывно от элементов матрицы; при малом $\Vert E\Vert$ каждому ${\lambda }_i(A)$ соответствует собственное значение ${\lambda }_j(A+E)$ близко к нему.
- Теорема: общая теорема о непрерывности корней многочлена (теорема о непрерывности корней) / базовые результаты анализа многочленов.
2) Простые собственные значения: устойчивость и гладкость
- Свойство: если $\lambda$ — простое (алгебраическая кратность 1), то при малом $E$ существует единственная собственная величина $\lambda (E)$ близко к $\lambda$; она зависит непрерывно (и аналитически при аналитическом/гладком изменении матрицы).
- Теорема: неявная функция / теоремы Като/Реллиха (Rellich для эрмитовых семейств) — простые собственные значения зависят гладко/аналитически от параметра.
3) Для эрмитовых (симметричных, нормальных) матриц — устойчивые численные оценки
- Свойство: собственные значения можно упорядочить так, что смещение ограничено нормой возмущения.
- Теорема Вейля (Weyl): для симметричной (эрмитовой) $A$ и любого $E$ $$|{\lambda }_i(A+E)-{\lambda }_i(A)|\le \Vert E{\Vert }_2(i=1,2,3)$$ (при подходящем упорядочении).
- Теорема Дэвиса—Кэхэна (Davis–Kahan) даёт оценки для углов между собственными подпространствами.
4) Для диагонализируемых (необязательно нормальных) матриц — оценка через обусловленность
- Свойство: смещение собственных значений ограничено, но оценка зависит от обусловленности базиса собственных векторов.
- Теорема Бауэра–Файке (Bauer–Fike): если $A=VD{V}^{-1}$, то для любого собственного значения $\mu$ матрицы $A+E$ $$\underset{j}{\min }|\mu -{\lambda }_j(A)|\le \kappa (V)\Vert E\Vert ,\kappa (V)=\Vert V\Vert \Vert V^{-1}\Vert .$$
5) Мультипликативная/алгебраическая кратность и Riesz‑проекторы
- Свойство: алгебраическая сумма собственных значений внутри малого круга вокруг изолированного собственного значения сохраняется при малом возмущении (т.е. кластер eigenvalues «персистирует»), но кратность одного собственного значения может распадаться на несколько.
- Теорема Като о проекциях Рише: если $\Gamma$ — контур, отделяющий часть спектра, то Riesz‑проектор
$$P=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{\Gamma }(zI-A{)}^{-1}dz$$ непрерывно зависит от $A$ при малых возмущениях и размерность образа $P$ остаётся постоянной.
6) Что НЕ устойчиво в общем
- Геометрическая кратность, конкретные собственные векторы и разложение при нон‑нормальных матрицах могут сильно меняться при малом $E$ (плохо обусловленные собственные значения).
- При вырожденных (кратных) собственных значениях малое возмущение обычно расщепляет их (неустойчивая кратность).
7) Практические полезные оценки и инструменты
- Теорема Гершгорина (Gershgorin): локализует спектр в дисках, поэтому малое изменение элементов сдвигает диски немного.
- Для эрмитовых — Вейл/Дэвис–Кэхэн; для диагонализируемых — Бауэр–Файке; для общего анализа — теория возмущений Като.
Кратко итог: при малом возмущении гарантируется непрерывность собственных значений; простые собственные значения стабильны и зависят гладко; для эрмитовых даются жёсткие линейные оценки (Weyl); для диагонализируемых — оценки через обусловленность (Bauer–Fike); при кратных/нормально неразложимых случаях возможны распады и сильная неустойчивость собственных векторов (Kato, Riesz‑проекции дают условие сохранения размерности кластеров).