Для начала разберемся с модулем. Выразим два случая, один когда x-6 > 0, второй когда x-6 < 0.

1) Когда x-6 > 0, то |x-6| = x-6. Тогда уравнению x^2 + 34 = 12x + x - 6 сводится к следующему уравнению:
x^2 + 34 = 13x - 6
x^2 - 13x + 40 = 0
(x - 5)(x - 8) = 0

Отсюда получаем два корня: x1 = 5 и x2 = 8.

2) Когда x-6 < 0, то |x-6| = -(x-6) = -x + 6. Тогда уравнению x^2 + 34 = 12x - x + 6 сводится к следующему уравнению:
x^2 + 34 = 11x + 6
x^2 - 11x + 28 = 0
(x - 4)(x - 7) = 0

Отсюда получаем два корня: x1 = 4 и x2 = 7.

Итак, уравнение x^2 + 34 = 12x + |x-6| имеет четыре корня: x1 = 4, x2 = 5, x3 = 7, x4 = 8.