Данное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами можно решить методом вариации постоянных.

Общее решение однородного уравнения Y′′ + 4y = 0 имеет вид:
Yh = C1cos(2x) + C2sin(2x),

где C1 и C2 - произвольные постоянные.

Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения в виде Yp = Asin(3x) + Bcos(3x).

Вычислим первую и вторую производные Yp:
Yp' = 3Acos(3x) - 3Bsin(3x),
Yp'' = -9Asin(3x) - 9Bcos(3x).

Подставим Yp и его производные в исходное уравнение:
-9Asin(3x) - 9Bcos(3x) + 4(Asin(3x) + Bcos(3x)) = sin(3x),
(-5A + 4B)sin(3x) + (4A + 5B)cos(3x) = sin(3x).

Сравнивая коэффициенты при sin(3x) и cos(3x), получаем систему уравнений:
-5A + 4B = 1,
4A + 5B = 0.

Решая данную систему, находим A = -5/41 и B = -4/41.

Таким образом, частное решение имеет вид:
Yp = (-5/41)sin(3x) - (4/41)cos(3x).

Итоговое решение исходного уравнения:
Y = Yh + Yp = C1cos(2x) + C2sin(2x) - (5/41)sin(3x) - (4/41)cos(3x).