1) cos x + sin x = sqrt(3)/2
Перепишем в виде cos(x + pi/6) = sqrt(3)/2
Так как cos(pi/6) = sqrt(3)/2, то x + pi/6 = pi/6 + 2pik или x + pi/6 = 5pi/6 + 2pik, где k - целое число.
Отсюда получаем x = -pi/6 + 2pik или x = 2pi/3 + 2pik.

2) cos(pi/x^2) + cos(x) = 0
Так как -1 <= cos(alpha) <= 1, то -2 <= cos(pi/x^2) + cos(x) <= 2.
Значит у уравнения нет решений.

3) cos(3x) + cos(x) = 0
Преобразуя сумму к виду произведения, получим 2cos(2x)cos(x) = 0.
Отсюда cos(2x) = 0 или cos(x) = 0.
Так как cos(2x) = 0 <=> 2x = pi/2 + pik, то x = pi/4 + pi/2k.
cos(x) = 0 <=> x = pi/2*k.

4) 3sin^2(2x) - 0.5sin(4x) - 4cos^2(2x) = 0
Переведем все в термины sin(2x), учитывая тригонометрические формулы.
Получаем уравнение 3(1 - cos(2x))^2 - 0.5 * 2sin(2x)cos(2x) - 4cos^2(2x) = 0.
Преобразуем к виду: 3 - 6cos(2x) + 3cos^2(2x) - sin(2x)cos(2x) - 4cos^2(2x) = 0.
Сводим к виду: 3cos^2(2x) - 6cos(2x) - sin(2x)cos(2x) - 1 = 0.
Решение данного уравнения может быть найдено численными методами.

5) sin^4(x/2) + cos^4(pi - x/2) = sin(x)
Выразим cos^4(pi - x/2) через sin:
cos(pi - alpha) = -cos(alpha), поэтому cos^4(pi - x/2) = cos^4(x/2) = (1 - sin^2(x/2))^2 = 1 - 2sin^2(x/2) + sin^4(x/2).
Тогда уравнение примет вид: sin^4(x/2) + 1 - 2sin^2(x/2) + sin^4(x/2) = sin(x).
2sin^4(x/2) - 2sin^2(x/2) + sin(x) - 1 = 0.
Решение данного уравнения возможно численными методами.