Для начала необходимо представить многочлен в виде произведения множителей. Допустим, у нас есть многочлен:

[ f(x) = x^3 + 3x^2 - 4x - 12 ]

Шаг 1: Найдем рациональные корни многочлена с помощью теоремы Рациообразных корней (делим коэффициент свободного члена на коэффициент при старшей степени):

[ x = \pm1, \pm2, \pm3, \pm4, \pm6, \pm12 ]

Шаг 2: Проверим каждый из найденных корней подстановкой в многочлен:

[ f(1) = 1^3 + 31^2 - 41 - 12 = 1 + 3 - 4 - 12 = -12 ]

[ f(-1) = (-1)^3 + 3(-1)^2 - 4(-1) - 12 = -1 + 3 + 4 - 12 = -6 ]

[ f(2) = 2^3 + 32^2 - 42 - 12 = 8 + 12 - 8 - 12 = 0 ]

Таким образом, мы нашли, что ( x = 2 ) - это рациональный корень многочлена.

Шаг 3: Разделим многочлен на множитель ( x - 2 ) с помощью деления с остатком:

[ x^3 + 3x^2 - 4x - 12 : (x - 2) = x^2 + 5x + 6 ]

Теперь можем записать наш многочлен в виде произведения:

[ f(x) = (x - 2)(x^2 + 5x + 6) ]

Многочлен разложен на множители.