Преобразуем уравнение:

8sin^2(x) + sin(x) = 0

sin(x)(8sin(x) + 1) = 0

Таким образом, sin(x) = 0 или 8sin(x) + 1 = 0.

1) sin(x) = 0

x = 0, π

2) 8sin(x) + 1 = 0

8sin(x) = -1

sin(x) = -1/8

Так как sin(x) не может быть равным -1/8, то корень этого уравнения на промежутке [0; 2π] не существует.

Итак, корни уравнения 8sin^2(x) + sin(x) = 0 на промежутке [0; 2π] равны x = 0, π.