Дано: гипотенуза треугольника - C.

Сумма катетов треугольника обозначается как a + b. Для поиска наибольшего значения этой суммы мы можем воспользоваться неравенством между средним арифметическим и средним геометрическим двух чисел.

(a + b)/2 >= √(ab)

(a + b)^2 >= 4ab

a^2 + 2ab + b^2 >= 4ab

a^2 - 2ab + b^2 >= 0

(a - b)^2 >= 0

Из этого следует, что (a - b)^2 = 0, т.е. a = b.

Таким образом, чтобы получить наибольшее значение суммы катетов, они должны быть равными, т.е. a = b = C/√2.

Следовательно, наибольшее значение суммы катетов равно 2C/√2 = C√2, что соответствует варианту ответа C).