Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции Y = x^3 - 1/2x^2 на отрезке [-1, 1] нужно сначала найти критические точки функции, где её производная равна нулю.

Y' = 3x^2 - x = 0
3x^2 - x = 0
x(3x - 1) = 0

Отсюда получаем две критические точки x = 0 и x = 1/3. Теперь нужно найти значения функции в этих точках и на концах отрезка.

Y(-1) = (-1)^3 - 1/(2(-1)^2) = -1 + 1/2 = -1/2
Y(0) = 0 - 0 = 0
Y(1/3) = (1/3)^3 - 1/(2(1/3)^2) = 1/27 - 1/6 = -1/54
Y(1) = 1 - 1/2 = 1/2

Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке [-1, 1] равно -1/2, а наибольшее значение равно 1/2.