Для решения уравнения $\sqrt{2}\cos^2x=\sin x$, используем тригонометрические тождества:

$$\sin x = \sqrt{1 - \cos^2 x}$$

Подставим это в уравнение:

$$\sqrt{2}\cos^2x = \sqrt{1 - \cos^2x}$$

Возводим обе части уравнения в квадрат:

$$2\cos^4x = 1 - \cos^2x$$

Перенесем все члены в левую сторону уравнения:

$$2\cos^4x + \cos^2x - 1 = 0$$

Обозначим $\cos^2 x$ как $t$:

$$2t^2 + t - 1 = 0$$

Теперь решим квадратное уравнение:

$$D = 1 + 8 = 9$$

$$t_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{4}$$

$$t_1 = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{1}{2}$$
$$t_2 = \frac{-1 - 3}{4} = -1$$

Так как $\cos^2 x \ge 0$, то рассматриваем только $t_1 = \frac{1}{2}$:

$$\cos^2 x = \frac{1}{2}$$

$$\cos x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$$

Теперь найдем все возможные значения $x$:

$$x_1 = \frac{\pi}{4}$$
$$x_2 = \frac{3\pi}{4}$$
$$x_3 = \frac{5\pi}{4}$$
$$x_4 = \frac{7\pi}{4}$$

Таким образом, у уравнения $\sqrt{2}\cos^2x=\sin x$ есть четыре решения: $x = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$.