Для нахождения числа корней уравнения на интервале (0°; 180°), сначала преобразуем уравнение:

12cos(2x) - 5sin(2x) + 13sin(4x) = 0
12cos(2x) - 5sin(2x) + 26sin(2x)cos(2x) = 0
12cos(2x) + 21sin(2x)cos(2x) = 0
12cos(2x) + 21sin(4x) = 0

Теперь заменим sin(4x) на 2sin(2x)cos(2x):

12cos(2x) + 21(2sin(2x)cos(2x)) = 0
12cos(2x) + 42sin(2x)cos(2x) = 0
12cos(2x) + 21sin(4x) = 0

Таким образом, уравнение преобразовалось в:

12cos(2x) + 21sin(4x) = 0

Далее, найдем производные обеих частей уравнения:

d/dx (12cos(2x) + 21sin(4x)) = -24sin(2x) + 84cos(4x) = 0

Решив уравнение -24sin(2x) + 84cos(4x) = 0, получим x_1 = 15° и x_2 = 105°.

Таким образом, на интервале (0°; 180°) уравнение имеет два корня: x_1 = 15° и x_2 = 105°.