Для нахождения тангенса угла наклона касательной к графику функции ( y = \sin(x) + 6x ) в точке с абсциссой ( x_0 = 0 ), нам необходимо найти производную данной функции и подставить в неё значение ( x_0 ).

Исходная функция: ( y = \sin(x) + 6x )

Находим производную функции по формуле дифференцирования суммы и произведения функций:
( y' = (\sin(x))' + (6x)' = \cos(x) + 6 )

Теперь подставляем значение ( x_0 = 0 ) в полученную производную:
( y'(0) = \cos(0) + 6 = 1 + 6 = 7 )

Тангенс угла наклона касательной равен значению производной функции в точке ( x_0 = 0 ), то есть ( \tan(\theta) = 7 ).