Одним из примеров функции, не интегрируемой по Лебегу, может быть функция Дирихле, которая определяется следующим образом:
[ f(x) = \begin{cases}
1, & \text{если $x$ – рациональное число} \
0, & \text{если $x$ – иррациональное число} \end{cases} ]

Эта функция не является интегрируемой по Лебегу на любом отрезке, так как множество ее разрывов на любом отрезке имеет полную меру, что противоречит критерию интегрируемости Лебега.