Для доказательства этого тождества воспользуемся геометрическим определением обратной функции косинуса.

Известно, что arccos x – это угол α, для которого cos α = x, а 0 ≤ α ≤ π.

Пусть -α – это угол, для которого cos (-α) = -x. Так как cos угла является четной функцией, то cos (-α) = cos α = x.

Таким образом, у нас есть два угла α и -α, для которых cos α = cos (-α) = x.

По определению арккосинуса, arccos x = α, arccos (-x) = -α.

Таким образом, arccos (-x) = -α = - (pi - arccos x) = pi - arccos x.

Таким образом, доказано, что arccos (-x) = pi - arccos x.