Можно закрасить клетки следующим образом:

Закрасить чередующиеся клетки в шахматном порядке, начиная с любой клетки.После этого закрасить каждую клетку между закрашенными двумя клетками.

Таким образом, каждая клетка будет граничить ровно с двумя закрашенными клетками.