Для того чтобы найти интервалы возрастания и убывания функции (f(x) = x + e^{-x}), нам необходимо найти производную этой функции.

(f'(x) = 1 - e^{-x})

Теперь найдем точки экстремума, приравняв производную к нулю:

(1 - e^{-x} = 0)

(e^{-x} = 1)

(-x = \ln{1})

(x = 0)

Получаем, что точка экстремума находится в точке (x = 0).

Далее анализируем знак производной в окрестности этой точки:

При (x < 0), производная (f'(x) = 1 - e^{-x}) будет положительной, так как (e^{-x}) будет меньше 1.При (x > 0), производная (f'(x) = 1 - e^{-x}) будет отрицательной, так как (e^{-x}) будет больше 1.

Таким образом, функция возрастает на интервале ((-\infty, 0)) и убывает на интервале ((0, +\infty)).