Для решения данного неоднородного дифференциального уравнения, нужно сначала найти решение однородного уравнения, затем найти частное решение неоднородного уравнения.

Найдем решение однородного уравнения:

7y"' - y" = 0

Характеристическое уравнение:

r^3 - r = 0

r(r^2 - 1) = 0

r = 0, r = 1, r = -1

Таким образом, общее решение однородного уравнения:

y_h = c1 + c2e^x + c3e^(-x)

Найдем частное решение неоднородного уравнения:

Предположим, что частное решение имеет вид y_p = Ax + B.

Подставляем y_p в исходное уравнение:

7(Ax + B)''' - (Ax + B)'' = 12x

7A = 12

A = 12/7

Итак, найденное частное решение:

y_p = (12/7)x + B

Общее решение неоднородного уравнения:

y = y_h + y_p = c1 + c2e^x + c3e^(-x) + (12/7)x + B

где c1, c2, c3, B - произвольные постоянные.